贝叶斯、1000次模拟：彻底搞懂三门问题

这是个很出名的问题：

假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换你的选择对你来说是一种优势吗？

从直觉上来看，几乎所有人都会觉得最后都是1/2的概率，没有区别，实则不然。

正好我们数学学到全概率和贝叶斯那块的时候，我们数学老师出的这个问题，用全概率和贝叶斯来解答。

用概率解决问题

1.设事件A=汽车在1号门，事件B=汽车在2号门，事件C=汽车在3号门，则P(A)=P(B)=P(C)=1/3。

2.设事件D=主持人打开了2号门

3.事件D的全概率：

$$P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$$

4.贝叶斯：

$$P(A|D) = \frac{P(D|A)P(A)}{P(D)} = \frac{1}{3}$$$$P(C|D) = \frac{P(D|C)P(C)}{P(D)} = \frac{2}{3}$$

5.结论：不换：1/3概率；换：2/3概率。

用频率估计概率

虽然用全概率和贝叶斯推导出了换的概率更大，但感觉还是有些反常识，那接下来模拟1000次来看一下实际情况，用频率来估计概率。

用Python编写一个小程序：

第一步：定义dictionary, value=[0, 0, 1] 第二步：随机在dictionary中选择1个元素标记为Q 第三步：在dictionary中找到没有标记为Q的元素，然后找出value=0的元素标记为N，剩余那个容器标记为V 第四步：记录Q和V的赋值情况第五步：进行重复化操作，重复1000次，然后算Q的赋值总和及V的赋值总和。

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import random

q_results = []
v_results = []

for i in range(1000):
    # 定义dictionary, value=[0, 0, 1]
    values = [0, 0, 1]
    random.shuffle(values)
    containers = {"A": values[0], "B": values[1], "C": values[2]}

    # 随机在dictionary中选择1个元素标记为Q
    Q_name = random.choice(["A", "B", "C"])
    Q_value = containers[Q_name]

    # 在dictionary中找剩余元素
    remaining = {}
    for name, val in containers.items():
        if name != Q_name:
            remaining[name] = val

    remaining_names = list(remaining.keys())

    # 找出value=0的元素，标记为N
    zero_containers = []
    for name in remaining_names:
        if remaining[name] == 0:
            zero_containers.append(name)

    N_name = random.choice(zero_containers)

    # 剩余那个标记为V
    for name in remaining_names:
        if name != N_name:
            V_value = remaining[name] 

    # 记录
    q_results.append(Q_value)
    v_results.append(V_value)

# 统计
Q_total = sum(q_results)
V_total = sum(v_results)

# 输出

print(f"Q赢了 {Q_total} 次，V赢了 {V_total} 次")

输出结果：

选择策略	命中概率 (理论值)	模拟命中次数 (n=1000)	实际概率
坚持初始选择 (Q)	$1/3 \approx 33.3$ %	317	31.7 %
转换选择 (V)	$2/3 \approx 66.7$ %	683	68.3 %

为什么会有直觉上的错误

我们主要忽视了一点：主持人并非随机开门，而是带着上帝视角排除干扰项。

当你选定一扇门后，1/3的概率在你手里，2/3的概率在剩下的两扇门里。

主持人帮你剔除掉剩下的门中那个错误的，相当于把你原本无法选择的2/3概率全部转移到了剩下的那一扇门上。

所以，换门本质上是用你手里的1/3换取了对面剩下的全部2/3。

这个其实很不好理解，大部分网上博主也是这种讲述方法，莫不如用贝叶斯好好算。

翻车现场

这个问题毕竟只是概率，当你模拟次数少的时候，有时很难体现。

我们数学老师还做了一个现场版的演示，它有事先准备的三个小盒子，里面分别装着1毛硬币，1毛硬币，5毛硬币，然后我们选的时候，换了，结果没换反而中了……

为啥这周更新这么勤：这周三（太阳节：金日成诞辰），我们学校接待朝鲜方面访问，所以不上课，改为周日上周三课，然后这周三实在太累了，就没更新，把两周更新内容都堆到这周了。